Le nouveau stade - Corrigé

Énoncé

Un architecte s'est vu confier l'organisation des tribunes d'un nouveau stade, dont on sait qu'il peut contenir entre  \(25~000\)  et  \(30~000\)  places assises. Afin d'optimiser l'espace, l'architecte a étudié plusieurs dispositions des sièges dans les tribunes. 

Il compte qu'en formant des rangées de  \(23\)  sièges, il restera  \(5\)  sièges à placer ; qu'en formant des rangées de  \(19\)  sièges, il en restera  \(6\)  à répartir ; et enfin qu'en alignant des rangées de  \(12\)  sièges, il restera  \(7\)  sièges à placer.

On cherche à déterminer le nombre total exact de sièges dans le futur stade.

1. Soit \(N\) le nombre total de sièges. Traduire l'énoncé par un système de trois congruences.

2. Montrer que, si \(N \in \mathbb{N}\) est une solution du système, alors il existe deux entiers naturels \(x\)  et  \(y\) tels que \(23x-19y=1\) .

3. Résoudre l'équation   \(23x-19y=1\)  dans  \(\mathbb{Z}^2\) .

4. Montrer qu'il existe deux entiers naturels  \(z\)  et  \(t\)  tels que  \(12z-437t=113\) .

5. Résoudre l'équation  \(12z-437t=113\)  dans  \(\mathbb{Z}^2\) .

6. Résoudre le problème, c'est-à-dire déterminer le nombre  \(N\)  de sièges dans le nouveau stade.

Solution

1. D'après les informations données par l'énoncé, on a :  \(\begin{align*}\left\lbrace \begin{array}{l}N \equiv 5 \ [23] \\ N \equiv 6 \ [19] \\ N \equiv 7 \ [12]\end{array} \right.\end{align*}\) .

2. On note  \(x\) le nombre de rangées de  \(23\) sièges dans la première disposition et  \(y\) le nombre de rangées de  \(19\) sièges dans la deuxième disposition. D'après la question 1, on a alors  \(N=5+23x=6+19y\) , donc  \(23x-19y=1\) .

3. On résout l'équation \((E) \colon 23x-19y=1\) .

• On applique l'algorithme d'Euclide pour  \(23\)  et  \(19\)  :
  \(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 23&19&1&4\\ \hline 19&4&4&3\\ \hline 4&3&1&1\\ \hline 3&1&3&0\\ \hline\end{array} \begin{array}{l}\ \\ \times 5 \\ \times (-1) \\ \times 1 \\ \ \end{array}\end{align*}\)  
  On a donc  \(\mathrm{PGCD}(23;19)=1\) , et comme \(1\) divise \(1\) , l'équation  \((E)\) admet des solutions dans \(\mathbb{Z}^2\) .
  
• En additionnant les lignes après avoir éliminé les restes intermédiaires, on obtient :
  \(\begin{align*}23 \times 5+19 \times (-1)=19 \times 1 \times 5+1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 23 \times 5+19 \times (-6)=1\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 23 \times 5-19 \times 6=1\end{align*}\)  
  donc \((x_0;y_0)=(5;6)\) est une solution particulière de \((E)\) .
  
• Soit \((x;y)\) une solution de \((E)\) .
  On a  \(\begin{align*}23x-19y=23 \times 5-19 \times 6& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 23(x-5)=19(y-6)\end{align*}\)   
  donc \(19\) divise \(23(x-5)\) .
  Or \(\mathrm{PGCD}(19;23)=1\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(19\) divise \(x-5\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que  \(\begin{align*}x-5=19k& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=19k+5.\end{align*}\)
  On a alors
  \(\begin{align*}23(x-5)=19(y-6)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 23 \times 19k=19(y-6)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 23k=y-6\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=23k+6.\end{align*}\)   
  Ainsi, les solutions de \((E)\) sont des couples de la forme \((x;y)=(19k+5;23k+6)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .
  
• Réciproquement, soit \(k \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((x;y)=(19k+5;23k+6)\) .
  On a \(\begin{align*}23x-19y=23(19k+5)-19(23k+6)=23 \times 5-19 \times 6=1\end{align*}\)   
  donc \((x;y)\) est solution de \((E)\) .
  
• En conclusion, les solutions de \((E)\) sont données par \(S_{(E)}=\left\lbrace(19k+5;23k+6) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .

4. D'après la question 3, il existe un entier relatif  \(t\)  tel que  \(x=19t+5\) , et d'après la question 2, on en déduit que  \(N=5+23x=5+23(19t+5)=437t+120\) . Comme  \(N\)  est positif, il est clair que  \(t\)  est également positif, donc est un entier naturel. 

On note  \(z\) le nombre de rangées de  \(12\) sièges dans la troisième disposition. D'après la question 1, on a alors  \(N=12z+7\) .

Par conséquent,  \(437t+120=12z+7\) , c'est-à-dire  \(12z-437t=113\) .

5. On résout l'équation \((E') \colon 12z-437t=113\) .

• On applique l'algorithme d'Euclide pour  \(437\)  et  \(12\)  :
  \(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 437&12&36&5\\ \hline 12&5&2&2\\ \hline 5&2&2&1\\ \hline 2&1&2&0\\ \hline\end{array} \begin{array}{l}\ \\ \times 5 \\ \times (-2) \\ \times 1 \\ \ \end{array}\end{align*}\)   
  On a donc  \(\mathrm{PGCD}(437;12)=1\) , et comme \(1\) divise \(1\) , l'équation  \((E)\) admet des solutions dans \(\mathbb{Z}^2\) .
• En additionnant les lignes après avoir éliminé les restes intermédiaires, on obtient :
  \(\begin{align*}437 \times 5+12 \times (-2)=12 \times 36 \times 5+1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 437 \times 5+12 \times (-182)=1\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 12 \times (-182)-437 \times (-5)=1 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 12 \times (-20~566)-437 \times (-565)=113\end{align*}\)   donc \((z_0;t_0)=(-20~566;-565)\) est une solution particulière de \((E')\) .
  
• Soit \((z;t)\) une solution de \((E')\) .
  On a
  \(\begin{align*}12z-437t=12 \times (-20~566)-437 \times (-565)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 12(z+20~566)=437(t+565)\end{align*}\)   
  donc \(12\) divise \(437(t+565)\) .
  Or \(\mathrm{PGCD}(12;437)=1\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(12\) divise \(t+565\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k' \in \mathbb{Z}\) tel que
  \(\begin{align*}t+565=12k'& \ \ \Longleftrightarrow \ \ t=12k'-565.\end{align*}\)  
  On a alors
  \(\begin{align*}12(z+20~566)=437(t+565)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 12 (z+20~566)=437 \times 12k'\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z+20~566=437k'\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z=437k'-20~566.\end{align*}\)    
  Ainsi, les solutions de \((E')\) sont des couples de la forme \((z;t)=(437k'-20~566;12k'-565)\) avec \(k' \in \mathbb{Z}\) .
  
• Réciproquement, soit \(k' \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((z;t)=(437k'-20~566;12k'-565)\) .
  On a
  \(\begin{align*}12z-437t & =12(437k'-20~566)-437(12k'-565) \\ & =12 \times (-20~566)-437 \times (-565)=113\end{align*}\)      
  donc \((z;t)\) est solution de \((E')\) .
  
• En conclusion, les solutions de \((E')\) sont données par \(S_{(E')}=\left\lbrace (437k'-20~566;12k'-565) \colon k' \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .

6. D'après la question 5, il existe un entier  \(k' \in \mathbb{Z}\)  tel que  \(z=437k'-20~566\) . Or, par définition de  \(z\) , on a  \(N=12z+7=12(437k'-20~566)+7=5~244k'-246~785\) .

Sachant que le futur stade accueillera entre  \(25~000\)  et  \(30~000\)  places assises, on a :
\(\begin{align*} 25~000 \leqslant N \leqslant 30~000 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 25~000 \leqslant 5~244k'-246~785 \leqslant 30~000 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 271~785 \leqslant 5~244k' \leqslant 276~785 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \frac{271~785}{5~244} \leqslant k' \leqslant \frac{276~785}{5~244} \end{align*}\)  

avec  \(k' \in \mathbb{Z}\) ,  \(\dfrac{271~785}{5~244} \approx 51,8\)  et  \(\dfrac{276~785}{5244} \approx 52,8\)  ; et l'on en déduit que  \(k'=52\) .

Le nouveau stade comptera donc  \(N=5~244 \times 52-246~785=25~903\)  places assises.